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La Teoría de los Juegos es una rama de las matemáticas y la economía que analiza la toma de decisiones estratégicas en situaciones donde el resultado para cada participante ("jugador") depende de las acciones de todos los demás. En esencia, es el estudio de cómo los individuos (o entidades como empresas, países, animales) interactúan y toman decisiones cuando sus intereses pueden ser opuestos o complementarios.

 

ELEMENTOS CLAVE

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1. Interdependencia y Decisión Estratégica:

• La característica fundamental es que las decisiones de un jugador afectan directamente a los resultados de los demás, y viceversa.

• Los jugadores deben anticipar las acciones y reacciones de los otros para tomar la mejor decisión para sí mismos. Esto implica una "racionalidad" en la que cada uno busca maximizar su propia utilidad o beneficio.

2. Elementos de un Juego:

• Jugadores: Los individuos o entidades que toman decisiones.

• Estrategias: El conjunto de acciones posibles que cada jugador puede tomar. Estas pueden ser:

  • Puras: Un jugador elige una acción específica con certeza.

  • Mixtas: Un jugador elige sus acciones aleatoriamente, con ciertas probabilidades.

• Pagos (o Utilidades): Los resultados o beneficios que cada jugador obtiene en función de las combinaciones de estrategias elegidas por todos los jugadores. Se suelen representar en matrices de pagos.

• Información: El conocimiento que tienen los jugadores sobre el juego (reglas, pagos, estrategias de los otros). Puede ser:

  • Perfecta: Todos los jugadores conocen todas las reglas, estrategias disponibles y pagos.

  • Imperfecta: No se tiene toda la información (ej. juegos de cartas donde no se conocen las cartas del oponente).

  • Completa: Todos los jugadores conocen los pagos y estrategias de todos.

  • Incompleta: Los jugadores tienen información privada (ej. valoración de un bien en una subasta).

3. Tipos de Juegos:

• Cooperativos vs. No Cooperativos:

  • Cooperativos: Los jugadores pueden formar acuerdos vinculantes y trabajar juntos para lograr un objetivo común, dividiendo los beneficios.

  • No Cooperativos: Los jugadores actúan de forma independiente, buscando maximizar su propio beneficio, y no hay posibilidad de acuerdos vinculantes. La mayoría de los análisis se centran en estos.

• Simultáneos vs. Secuenciales:

  • Simultáneos: Los jugadores toman sus decisiones al mismo tiempo, sin conocer las elecciones de los demás.

  • Secuenciales: Los jugadores toman sus decisiones en un orden determinado, conociendo las acciones de los jugadores anteriores.

• Suma Cero vs. Suma No Cero:

  • Suma Cero: La ganancia de un jugador es exactamente la pérdida de otro, de modo que la suma de los pagos es cero (ej. ajedrez).

  • Suma No Cero: La ganancia de un jugador no necesariamente implica la pérdida de otro; puede haber situaciones de ganancia mutua (ganar-ganar) o pérdida mutua (perder-perder). La mayoría de las situaciones de la vida real son de suma no cero.

• Juegos Repetidos: Los mismos jugadores interactúan múltiples veces, lo que permite estrategias más complejas como la reputación, el castigo o la cooperación a largo plazo.

4. Conceptos de Solución (Equilibrios):

• Estrategia Dominante: Una estrategia que es la mejor para un jugador, independientemente de lo que hagan los demás.

• Equilibrio de Nash: Es un conjunto de estrategias, una para cada jugador, en el que ningún jugador tiene incentivos para cambiar unilateralmente su estrategia, dado lo que están haciendo los demás. Es un concepto central en la teoría de juegos no cooperativos.

• Inducción Hacia Atrás (en juegos secuenciales): Una forma de resolver juegos secuenciales, comenzando por el último movimiento y retrocediendo para determinar las decisiones óptimas en cada etapa.

• Equilibrio Perfecto en Subjuegos: Un refinamiento del Equilibrio de Nash para juegos secuenciales, que garantiza que las estrategias son óptimas no solo desde el principio del juego, sino en cada "subjuego" posible.

5. Aplicaciones:

La Teoría de los Juegos tiene una amplia gama de aplicaciones en diversos campos:

• Economía: Competencia entre empresas (oligopolios), subastas, negociaciones, mercados laborales, formación de precios.

• Ciencias Políticas: Formación de coaliciones, votación, conflictos internacionales, diplomacia.

• Biología: Comportamiento animal, estrategias evolutivas.

• Informática: Diseño de algoritmos, redes de comunicación.

• Sociología y Psicología: Interacciones sociales, comportamiento humano en dilemas.

• Estrategia Militar: Planificación de conflictos.

 

TÉCNICAS UTILIZADAS

La Teoría de los Juegos, al ser una disciplina tan amplia, utiliza diversas técnicas para analizar y resolver diferentes tipos de juegos. Estas técnicas varían según la naturaleza del juego (simultáneo o secuencial, cooperativo o no cooperativo, con información perfecta o imperfecta, etc.).

 

Para Juegos No Cooperativos (los más comunes en el análisis económico):

1. Representación del Juego:

• Forma Normal (Matriz de Pagos): Es la representación más común para juegos simultáneos. Se muestra una tabla donde las filas representan las estrategias de un jugador, las columnas las estrategias del otro jugador (en juegos de dos jugadores), y las celdas contienen los pagos (utilidades) para cada jugador según la combinación de estrategias elegida.

• Forma Extensiva (Árbol de Juego): Se utiliza para juegos secuenciales. Es un diagrama de árbol que muestra el orden de los movimientos, los conjuntos de información (lo que sabe cada jugador en cada punto de decisión), las acciones posibles en cada nodo de decisión y los pagos finales en los nodos terminales.

2. Conceptos de Solución (Equilibrios):

• Estrategias Dominantes y Dominadas:

  • Estrategia Dominante: Una estrategia que le da al jugador un pago estrictamente mejor que cualquier otra estrategia, independientemente de lo que hagan los demás jugadores. Si un jugador tiene una estrategia dominante, la teoría predice que la elegirá.

  • Estrategia Dominada: Una estrategia que siempre da un pago peor que otra estrategia disponible, independientemente de lo que hagan los demás. Las estrategias dominadas pueden eliminarse del juego, simplificando el análisis.

  • Eliminación Iterada de Estrategias Dominadas (EIED): Un proceso para simplificar un juego eliminando sucesivamente las estrategias dominadas por cualquier jugador.

• Equilibrio de Nash (EN): El concepto de solución más fundamental en juegos no cooperativos. Un conjunto de estrategias es un Equilibrio de Nash si ningún jugador puede mejorar su pago cambiando unilateralmente su estrategia, dadas las estrategias de los demás.

  • Búsqueda de EN en Estrategias Puras: Se revisa la matriz de pagos identificando las mejores respuestas de cada jugador a las estrategias del otro. Las celdas donde ambas estrategias son la mejor respuesta mutua son Equilibrios de Nash en estrategias puras.

  • Búsqueda de EN en Estrategias Mixtas: Cuando no existen Equilibrios de Nash en estrategias puras (o cuando hay múltiples), se busca un equilibrio donde los jugadores eligen sus estrategias con ciertas probabilidades. Esto implica resolver un sistema de ecuaciones donde el pago esperado de cada estrategia pura en el equilibrio mixto debe ser igual.

• Inducción Hacia Atrás (Backward Induction): Exclusiva para juegos secuenciales con información perfecta. Se resuelve el juego "de atrás hacia adelante". Se empieza por el último nodo de decisión y se determina la elección óptima del jugador en ese punto. Luego, se sube al nodo anterior, considerando la elección óptima ya determinada, y así sucesivamente hasta llegar al primer nodo de decisión. Esto lleva a un Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos.

• Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos (ENPS): Un refinamiento del Equilibrio de Nash para juegos secuenciales. Un ENPS es un EN tal que las estrategias de los jugadores constituyen un Equilibrio de Nash en cada "subjuego" posible del juego original. La inducción hacia atrás siempre produce un ENPS.

• Refinamientos del Equilibrio de Nash: Existen otros conceptos de solución que son más restrictivos que el EN y buscan eliminar equilibrios "irrazonables" en ciertos contextos, como el Equilibrio Perfecto de Mano Temblando (Trembling Hand Perfect Equilibrium) o el Equilibrio Correlacionado.

Para Juegos Cooperativos:

En los juegos cooperativos, el enfoque no es tanto predecir lo que hará cada individuo, sino cómo los grupos pueden formar coaliciones y distribuir los beneficios resultantes de la cooperación.

• Conjunto de Posibilidades de Coalición (Core): El conjunto de todas las distribuciones de pagos que son estables en el sentido de que ninguna coalición de jugadores tiene un incentivo para desviarse y obtener un mejor pago para sus miembros.

• Valor de Shapley: Un método para asignar una "contribución marginal" justa a cada jugador en un juego cooperativo, basándose en la medida en que su presencia aumenta el valor de las diferentes coaliciones en las que participa.

• Núcleo de Von Neumann-Morgenstern: Un concepto más antiguo que busca conjuntos de imputaciones (distribuciones de pagos) que sean internamente estables (ninguna imputación en el conjunto domina a otra) y externamente estables (cualquier imputación fuera del conjunto es dominada por alguna imputación dentro del conjunto).

• Solución de Negociación de Nash: Para juegos de negociación (un tipo de juego cooperativo donde los jugadores negocian sobre un conjunto de resultados posibles), la solución de Nash busca una distribución de pagos que maximice el producto de las utilidades de los jugadores, dadas ciertas condiciones de racionalidad y equidad.

Otras Técnicas y Consideraciones:

• Análisis de Sensibilidad: Evaluar cómo los resultados de un juego cambian cuando se modifican los pagos, las estrategias o la información disponible.

• Simulación Monte Carlo: Para juegos complejos donde el cálculo analítico es difícil, se pueden usar simulaciones para estimar los resultados esperados de diferentes estrategias.

• Teoría de Juegos Evolutiva: En lugar de asumir una racionalidad perfecta, esta rama estudia cómo las estrategias evolucionan en una población a través de procesos de selección y mutación, buscando las Estrategias Evolutivamente Estables (EEE).

• Juegos Repetidos: Las técnicas para juegos repetidos introducen conceptos como la cooperación condicional (tit-for-tat) o las estrategias de gatillo (trigger strategies) para analizar cómo la repetición del juego puede sostener la cooperación incluso en situaciones donde la no cooperación sería un Equilibrio de Nash en un juego de una sola vez.