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MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LA GESTIÓN

 

Decisiones sobre la mezcla de productos mediante la programación lineal: Método gráfico

 

 

En el agrupamiento de la línea de productos se deben adoptar decisiones para seleccionar la mezcla de productos que se generará (o cuáles procesos se usarán) en función del costo, la capacidad y otras limitaciones. La programación lineal es una técnica muy útil para apoyar el proceso de decisión sobre la mezcla de productos (y otras muchas).

 

Se aplica a situaciones en las que la empresa tiene una demanda de cualesquier cantidad de dos o más productos que debe producir. Otra aplicación usual es la selección de la mezcla más barata de materias primas o procesos que se aplicará cuando se pueda escoger entre varios de ellos.

 

La programación lineal es una técnica matemática útil para aprovechar al máximo o reducir al mínimo posible una función lineal objetiva, sujeta a restricciones lineales. Supone que los valores de costos e ingresos son conocidos (certidumbre) y que las utilidades de varias actividades son aditivas (aditividad) y que no se tienen valores negativos de producción (no negatividad).

 

Se revisará la programación lineal en el caso de una decisión de mezcla de productos; sin embargo tiene una amplia aplicación a otros problemas, tales como presupuestos de capital, balanceo de líneas de producción, planeación y programación.

 

Los problemas de programación lineal son expresados en términos de una sola función objetivo lineal que especifica el beneficio o costo asociado, con cada variable de decisión.

 

Por ejemplo: si la utilidad (Z) de una variable de decisión X1 (sillas) es $20 y de X2(mesas) es $70, la función objetivo lineal puede ser:

 

Maximizar Z = $20X1 + $70X2

 

Las restricciones expresan las limitaciones de recursos o necesidades de fabricar productos finales y deben poder ser establecidas como menor o igual que (≤), igual que (=), o mayor o igual que (≥) una cantidad específica.

 

Es decir, si cada silla (X1) es armada en 10 minutos, y cada mesa (X2) requiere 20 minutos, el número de sillas y mesas que puedan ser armadas estará limitado por el tiempo total de montaje disponible, por ejemplo: 420 minutos.

 

La ecuación lineal para restringir el tiempo de ensamble puede ser, entonces:

10X1 + 20 X2 ≤ 420

 

Otras restricciones (tantas como se apliquen) pueden ser formuladas en una forma similar. Tomándolas juntas, las restricciones definen una región factible, un área dentro de la cual se encuentran todas las posibles combinaciones de solución.

 

La solución óptima (o mezcla de variables) depende de los criterios –por ejemplo: beneficio o costo) expresados en la función objetivo, pero siempre será en algún punto de intersección de las restricciones (una esquina) en la región factible.

 

Uno de los métodos más fáciles de solución de problemas de dos variables (dos productos) es el método gráfico.

 

Método gráfico de solución de problemas de programación lineal

1. Formúlese el problema en términos de una función objetivo lineal y restricciones lineales.

2. Elabórese una gráfica con una variable de decisión en cada eje, y grafíquense las restricciones. Ellas definen la región factible.

3. Determínese la pendiente de la función objetivo, e indíquese la pendiente en la región factible de la gráfica.

4. Trasládese la función objetivo paralela en dirección de la optimización, hasta que esté restringida.

5. Léanse los valores solución de las variables de decisión de los ejes respectivos.

 

 

Ejemplo:

Una empresa química "Chemical" produce limpiadores para automóviles X y pulidores Y y gana $10 en cada lote de X, y $30 en Y. Ambos productos requieren procesarse en las mismas máquinas, A y B, pero X requiere cuatro horas en A y ocho en B, mientras que Y requiere seis horas en A y cuatro en B.  Durante la semana entrante las máquinas A y B tienen 12 y 16 horas de capacidad disponible, respectivamente. Suponiendo que existe demanda de ambos productos, cuántos lotes de cada uno deben producirse para alcanzar la unidad óptima Z?.

 

1. La función objetivo es:

Max Z = $10X + $30Y

 

Las restricciones son:

A : 4X + 6Y = 12

B : 8X + 4Y =16

X,Y ≥ 0

 

2. Las variables son X y Y. Las restricciones son dibujadas como igualdades. Para graficar:

 

 

Puntos

X

Y

A

X = 0

Y = 2

X = 3

Y = 0

B

X = 0

Y = 4

X = 2

Y = 0

 

Nótese que la gráfica establece una región factible limitada por las restricciones explícitas de A y B y las restricciones implícitas de que la producción de X ≥ 0 y la producción de Y ≥ 0.

 

<![if !vml]><![endif]>

 

 

3. La función objetivo es la pendiente

 

Z = 10X + 30Y

 

La forma estándar de la pendiente de una ecuación lineal es

 

Y = mX + b

 

m es la pendiente de la línea (esto es, cambio en Y por cambio unitario en X) y b es la intersección de Y. Expresando la función objetivo en esta forma, se tiene:

 

<![if !vml]><![endif]>

 

<![if !vml]><![endif]>

 

La pendiente = -1/3; es decir, la línea disminuye una unidad en X por cada tres unidades positivas de X. Esto puede graficarse en forma identificable dentro de la región factible (como se muestra en las líneas punteadas de la gráfica anterior. De Y =1 y X=3

 

4. La pendiente de la función objetivo es trasladada del origen hasta la intersección más lejana de las restricciones  A y la restricción implícita X ≥ 0. La solución óptima estará siempre en una esquina de la región factible.

 

5. Las flecha apuntan la solución, la cual es determinada por las coordenadas de X y Y en la esquina. En el ejemplo, X=0 y Y=2. O sea la empresa debe producir dos lotes de pulidor y ningún limpiador para obtener una utilidad de

 

Z = $10(0) + $30(2) = $60

 

Cómo se puede observar en la gráfica, la restricción impuesta por la máquina B (esto es

8X + 4Y ≤ 16) no tiene efecto, por lo cual las 12 horas de la máquina A (denotada por

4X + 6Y ≤ 12) ) son las que restringen la producción del pulidor más rentable.

 

La gráfica también muestra que la utilidad podría continuar incrementándose si hubiera más horas disponibles en la máquina A, al punto de doblar la producción (en X=0 y Y=4). En este punto, el tiempo disponible de la máquina B se vuelve restrictivo.

 

El ejemplo presupone que la contribución a la utilidad era conocida y que las cantidades de las restricciones, tiempo de procesado, y tiempo disponible de las máquinas eran conocidas con certeza.

 

Bibliografía

Monks Joseph G. ADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES, SERIE SCHAUM., Primera edición, México D.F., Mc. Graw Hill., p.p. 103 – 104.

Taha Hamdy. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. Séptima edición, México D.F., Prentice Hall. p.p 11- 28